周期函数的导函数是周期函数吗

是周期函数,而且与原函数的周期相等。周期函数是指f(x)=f(x t),对定义域内的x,t是其周期,则f'(x)=lim((f(x Δx)-f(x))/Δx)=lim((f(x t Δx)-f(x t))/Δx)=f'(x t),所以f'(x)也是以t为周期的周期函数。

周期函数概念

对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上,任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。

周期函数的原函数不一定是周期函数

证明如下:

设f(x)=f(x T) T为周期

∫f(x)dx=∫f(x T)dx=∫f(x T)d(x T)

F(x)=F(x T) 周期函数

f(x)为周期函数,f(x)=f(x T)

f(x) a=f(x T) a

所以f(x) a也是周期函数

∫[f(x) a]dx=F(x) ax

F(x)是周期函数,如果a≠0,F(x) ax就不是周期函数。

对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。

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